傅里叶级数和傅里叶变换专题

首先是傅里叶级数，周期为 $T$ 的周期函数 $f(t)$ ，可以表示为正弦函数和余弦函数之和，即傅里叶级数

\[ \begin{gathered} f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \mathrm{e}^{\mathrm{j} \frac{2 \pi n}{T} t} \\\end{gathered} \]

而这些级数的系数 $c_{n}$ 则是

\[ c_n=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{2 \pi n}{T} t} \mathrm{~d} t, \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \]

根据欧拉定理

$$

e^{j \theta} =\cos \theta +j \sin \theta $$

那么

\[ \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{2 \pi n}{T} t}=\cos(\frac{-2 \pi nt}{T})+j \sin (\frac{-2 \pi nt}{T}) \]

而 $\omega =\frac{2 \pi}{T}$，因此

\[ \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{2 \pi n}{T} t}=e^{-j \omega nt}=\cos(-\omega nt)+j \sin (-\omega nt) \]

冲激函数¶

冲激函数是指具有以下性质的函数

\[ \delta(t)= \begin{cases}\infty, & t=0 \\ 0, & t \neq 0\end{cases} \]

并且

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \mathrm{d} t=1 \]

因此冲激函数具有这样的取样性质

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t) \mathrm{d} t=f(0) \]

这是因为

\[ \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t) \mathrm{d} t\\=&\int_{-\infty}^{\infty} f(0) \delta(t) \mathrm{d} t\ (除了0以外都是0)\\=&f(0)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \mathrm{d} t\\=&f(0) \end{aligned} \]

因此如果移动冲激函数的冲激位置，就会有

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta\left(t-t_0\right) \mathrm{d} t=f\left(t_0\right) \]

冲激串被定义为无穷多个冲激 $\Delta T$ 单位的和

\[ s_{\Delta T}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k \Delta T) \]

此外我们定义冲激函数的离散形式，也就是离散冲激

\[ \delta(x)= \begin{cases}1, & x=0 \\ 0, & x \neq 0\end{cases} \]

其中 $x$ 是一个离散变量，并且其和式为

\[ \sum_{x=-\infty}^{\infty} \delta(x)=1 \]

对于离散函数而言，同样也满足取样性质

\[ \sum_{x=-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x)=f(0) \]

同样，更一般的有

\[ \sum_{x=-\infty}^{\infty} f(x) \delta\left(x-x_0\right)=f\left(x_0\right) \]

连续单变量函数的傅里叶变换¶

连续变量 $t$ 的连续函数 $f(t)$ 的傅里叶变换由 $\mathfrak{I}\{f(t)\}$ 表示, 它定义为

\[ \Im\{f(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t \]

式中, $\mu$ 也是一个连续变量。因为积分变量是 $t$, 所以 $\mathfrak{I}\{f(t)\}$ 只是 $\mu$ 的函数, 即 $\mathfrak{J}\{f(t)\}=F(\mu)$;因此, 我们把 $f(t)$ 的傅里叶变换写为

\[F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t\]

(因为积分变量是 $t$，所以这个积分在积出来之后就只和 $\mu$ 有关)

相反, 已知 $F(\mu)$ 时, 可通过傅里叶反变换可以得到 $f(t)$, 它写为

\[ f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} F(\mu) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} \mu \]

其中用到了反变换中积分变量是 $\mu$ 的事实, 因此将反变换简单地写为 $f(t)$,

因此根据欧拉公式，傅里叶变换又可以写作

\[ F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)[\cos (2 \pi \mu t)-\mathrm{j} \sin (2 \pi \mu t)] \mathrm{d} t \]

我们看到, 如果 $f(t)$ 是实数, 那么其变换通常是复数。注意, 傅里叶变换是 $f(t)$ 乘以正弦函数的展开式, 其中正弦函数的频率由 $\mu$ 值决定。因此, 积分后留下的唯一变量是频率, 因此我们说傅里叶变换域是频率域

求一个简单连续函数的傅里叶变换¶

图 4.4(a)中的函数的傅里叶变换可由式(4.20)得出:

\[ \begin{aligned} & F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t=\int_{-W / 2}^{W / 2} A \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t \\ & =\frac{-A}{\mathrm{j} 2 \pi \mu}\left[\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \omega / \omega}\right]_{-W / 2}^{W / 2}=\frac{-A}{\mathrm{j} 2 \pi \mu}\left[\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \pi \mu W}-\mathrm{e}^{\mathrm{j} \pi \omega W}\right] \\ & =\frac{A}{\mathrm{j} 2 \pi \mu}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{j} \pi \mu W}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mu \mu W}\right] \\ & =A W \frac{\sin (\pi \mu W)}{(\pi \mu W)} \\ & \end{aligned} \]

式中使用了三角恒等式 $\sin \theta=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \theta}\right) / 2 \mathrm{j}$ 。此时, 傅里叶变换的复数项合并为一个实正弦函数。上式中最后一步的结果是我们熟悉的 sinc 函数, 即

\[ \operatorname{sinc}(m)=\frac{\sin (\pi m)}{(\pi m)} \]

式中, $\operatorname{sinc}(0)=1$, 对于 $m$ 的所有其他整数值, $\operatorname{sinc}(m)=0$ 。图 4.4(b) 显示了 $F(\mu)$ 的曲线。

通常, 傅里叶变换中包含复数项, 这是为显示变换的幅值 (一个实量) 的一种约定。这个幅值称为傅里叶频谱或频谱:

\[ |F(\mu)|=A W\left|\frac{\sin (\pi \mu W)}{(\pi \mu W)}\right| \]

图 4.4(c)显示了 $|F(\mu)|$ 与频率的关系曲线。曲线的关键性质是:

(1) $F(\mu)$ 和 $|F(\mu)|$ 的零值位置都与 “盒式” 函数的宽度 $W$ 成反比;
(2) 到原点的距离越大, 旁瓣的高度随到原点距离的增加而减小;
(3) 函数向 $\mu$ 值的正方向和负方向无限扩展。

冲激和冲激串的傅里叶变换¶

位于原点的单位冲激的傅里叶变换由式(4.20)给出:

\[ \Im\{\delta(t)\}=F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \delta(t) \mathrm{d} t=\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu_0}=\mathrm{e}^0=1 \]

因此类似的

\[ \Im\left\{\delta\left(t-t_0\right)\right\}=F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_0\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \omega t} \mathrm{~d} t=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \delta\left(t-t_0\right) \mathrm{d} t=\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t_0} \]

4.3 节将使用周期冲激串的傅里叶变换。得到这个变换并不像得到各个冲激的变换那样简单。然而, 了解如何推导一个冲激串的变换十分重要, 下面花一些时间来进行推导。我们发现, 式(4.20)和式(4.21)的差别只是指数符号的不同。因此, 如果函数 $f(t)$ 有傅里叶变换 $F(\mu)$, 那么求该函数在点 $t$ 的值 $F(t)$ 时, 一定有变换 $f(-\mu)$ 。

使用这种对称性质和上面给出的冲激 $\delta\left(t-t_0\right)$ 的傅里叶变换 $\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu_0}$, 可得函数 $\mathrm{e}^{-j 2 \pi\mu_0}$ 的变换为 $\delta\left(-\mu-t_0\right)$ 。(注意 $\mu$ 和 $t$ 之间的互变)
令 $-t_0=a$, 可得 $\mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi at}$ 的变换是 $\delta(-\mu+a)=\delta(\mu-a)$, 其中最后一步是正确的, 因为除 $\mu=a$ 外, $\delta$ 为零, 对 $\delta(-\mu+a)$ 或 $\delta(\mu-a)$ 而言, 这是相同的条件。

式(4.14)中的冲激串 $s_{\Delta T}(t)$ 是周期为 $\Delta T$ 的周期函数, 因此它可表示为一个傅里叶级数:

\[ S_{\Delta T}(t)=\sum_{n=\infty}^{\infty} c_n \mathrm{e}^{j\frac{ 2 \pi n}{\Delta T}t} \]

式中,

\[ c_n=\frac{1}{\Delta T} \int_{-\Delta T / 2}^{\Delta T / 2} s_{\Delta T}(t) \mathrm{e}^{-{j\frac{ 2 \pi n}{\Delta T}t}} \mathrm{~d} t \]

参考图 4.3(b), 我们发现区间 $[-\Delta T / 2, \Delta T / 2]$ 上的积分仅包含位于原点的冲激。因此, 上式变为

\[ c_n=\frac{1}{\Delta T} \int_{-\Delta T / 2}^{\Delta T / 2} \delta(t) \mathrm{e}^{-\frac{2 w n}{\Delta T} t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{\Delta T} \mathrm{e}^0=\frac{1}{\Delta T} \]

式中用到了 $\delta(t)$ 的取样性质。于是, 傅里叶级数变为

\[ s_{\Delta T}(t)=\frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{j\frac{ 2 \pi n}{\Delta T}t} \]

我们的目的是得到该表达式的傅里叶变换。因为求和是线性过程, 和的傅里叶变换等于各个分量的傅里叶变换之和。这些分量是指数形式的, 本例中前面已得到

\[ \Im\left\{\mathrm{e}^{j \frac{2 n \pi}{\Delta T} t}\right\}=\delta\left(\mu-\frac{n}{\Delta T}\right) \]

因此周期冲激串的傅里叶变换 $S(\mu)$ 是

\[ S(\mu)=\mathfrak{I}\left\{s_{\Delta T}(t)\right\}=\mathfrak{I}\left\{\frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{j \frac{2 \pi n}{\Delta T} t}\right\}=\frac{1}{\Delta T} \mathfrak{J}\left\{\sum_{n=\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{j\frac{ 2 \pi n}{\Delta T}t}\right\}=\frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(\mu-\frac{n}{\Delta T}\right) \]

卷积¶

卷积被定义为

\[ (f \star h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t-\tau) \mathrm{d} \tau \]

求上式的傅里叶变换，首先有

\[ \Im\{(f \star h)(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t-\tau) \mathrm{d} \tau\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t\right] \mathrm{d} \tau \]

并且

\[ \mathfrak{F}\{h(t-\tau)\}=H(\mu) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu \tau} \]

因此

\[ \Im\{(f \star h)(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\left[H(\mu) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu \tau}\right] \mathrm{d} \tau=H(\mu) \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu \tau} \mathrm{d} \tau=H(\mu) F(\mu)=(H \cdot F)(\mu) \]

式中, 符号 $\cdot$ 表示相乘。如前所述, 如果将 $t$ 的域称为空间域, 将 $\mu$ 的域称为频率域, 那么上式告诉我们, 空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换, 等于频率域中两个函数的傅里叶变换的乘积。反过来,如果有两个变换的乘积, 那么可以通过计算傅里叶反变换得到空间域的卷积。换句话说, $f \star h$ 和 $F \cdot H$是一个傅里叶变换对。这一结果是卷积定理的一半, 它写为

\[ (f \star h)(t) \Leftrightarrow(H \cdot F)(\mu) \]

如前所述, 双箭头表明右侧的表达式是通过取左侧表达式的傅里叶正变换得到的, 而左侧的表达式是通过取右侧表达式的傅里叶反变换得到的。

类似地, 可以推出另外一半卷积定理:

\[ (f \cdot h)(t) \Leftrightarrow(H \star F)(\mu) \]

取样和取样函数的傅里叶变换¶

在能用计算机进行处理之前, 连续函数必须转换为一系列离散值, 这就要求取样和量化, 如 2.4 节所述。下面详细介绍取样。

考虑一个连续函数 $f(t)$, 我们希望以自变量 $t$ 的均匀间隔 $\Delta T$ 对函数取样 (见图 4.5 )。首先假设该函数关于 $t$ 从 $-\infty$ 扩展到 $\infty$ 。对取样建模的一种方法是将 $f(t)$ 乘以一个取样函数, 这个取样函数等于单位间隔 $\Delta T$ 的一个冲激串。也就是说，

\[ \tilde{f}(t)=f(t) s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-n \Delta T) \]

这个和式的每个分量都是冲激位置 $f(t)$ 的一个加权冲激，因此取样序列中任意一个取样的值 $f_k$ 由下式给出:

\[ f_k=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-k \Delta T) \mathrm{d} t=f(k \Delta T) \]

以间隔 $\Delta T$ 进行取样意味着取样率（每一秒取样的几率） 等于 $1 / \Delta T$

取样后的函数的傅里叶变换¶

令 $F(\mu)$ 表示连续函数 $f(t)$ 的傅里叶变换。如前节所述, 取样后的函数 $\tilde{f}(t)$ 是 $f(t)$ 与一个冲激串的乘积。由卷积定理可知, 空间域中两个函数的乘积的傅里叶变换, 是两个函数的变换在频率域中的卷积。于是, 取样后的函数 $\tilde{f}(t)$ 的傅里叶变换 $\tilde{F}(\mu)$ 是

\[ \tilde{F}(\mu)=\mathfrak{J}\{\tilde{f}(t)\}=\mathfrak{J}\left\{f(t) s_{\Delta T}(t)\right\}=(F \star S)(\mu) \]

式中, 由例 4.2 可知

\[ S(\mu)=\frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(\mu-\frac{n}{\Delta T}\right) \]

是冲激串 $s_{\Delta T}(t)$ 的傅里叶变换。由式(4.24)中一维卷积的定义, 可直接得到 $F(\mu)$ 和 $S(\mu)$ 的卷积:

\[ \begin{aligned} \tilde{F}(\mu) & =(F \star S)(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty} F(\tau) S(\mu-\tau) \mathrm{d} \tau \\ & =\frac{1}{\Delta T} \int_{-\infty}^{\infty} F(\tau) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(\mu-\tau-\frac{n}{\Delta T}\right) \mathrm{d} \tau \\ & =\frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(\tau) \delta\left(\mu-\tau-\frac{n}{\Delta T}\right) \mathrm{d} \tau \\ & =\frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F\left(\mu-\frac{n}{\Delta T}\right) \end{aligned} \]

式(4.31)中最后一行的求和表明, 取样后的函数 $\tilde{f}(t)$ 的傅里叶变换 $\tilde{F}(\mu)$, 是原连续函数的傅里叶变换的一个无限的、周期的副本序列。副本之间的间隔由 $1 / \Delta T$ 的值决定。虽然 $\tilde{f}(t)$ 是取样后的函数,但其变换 $\tilde{F}(\mu)$ 是连续的, 因为它由 $F(\mu)$ 的多个副本组成, 所以 $F(\mu)$ 是一个连续函数。

图 4.6 是前述结果的图示小结 ${ }^{(1)}$ 。图 4.6(a) 是函数 $f(t)$ 的傅里叶变换 $F(\mu)$ 的简图, 图 4.6(b) 显示了取样后的函数 $\tilde{f}(t)$ 的变换 $\tilde{F}(\mu)$ 。如前节所述, $1 / \Delta T$ 是用于生成取样后的函数的取样率。因此,

在图 4.6(b)中, 取样率要高到足以在各个周期之间提供有效的间隔, 以便保持 $F(\mu)$ 的完整性 ( 即完美的副本 )。在图 4.6(c)中, 取样率刚好足以保持 $F(\mu)$, 但在图 4.6(d)中, 取样率低于保持不同 $F(\mu)$副本所需的最小值, 因此不能保持原始变换。图 4.6(b)是对信号过取样后的结果, 图 4.6(c)和(d) 分别是对信号临界取样和欠取样后的结果。这些概念是帮助我们掌握取样定理基本原理的基础, 下面讨论取样定理。

取样定理¶

对于以原点为中心的有限区间 (带宽) $\left[-\mu_{\max }, \mu_{\max }\right]$ 外的频率值, 傅里叶变换为零的函数 $f(t)$ 称为带限函数。图 4.6(a)的放大部分即图 4.7(a) 就是这样一个函数。类似地, 图 4.7(b) 是图 4.6(c)所示临界取样后的函数的傅里叶变换的详细视图 [ 见图 4.6(c) ]。较大的 $\Delta T$ 值会使得 $\tilde{F}(\mu)$中的周期混叠, 较小的 $\Delta T$ 值会在周期之间提供更清晰的间隔。

如果能从 $\tilde{F}(\mu)$ 中包含的这个函数的副本的周期序列中分离出 $F(\mu)$ 的一个副本, 那么就能由样本复原 $f(t)$, 其中 $\tilde{F}(\mu)$ 是取样后的函数 $\tilde{f}(t)$ 的傅里叶变换。回顾前节的讨论可知, $\tilde{F}(\mu)$ 是周期为 $1 / \Delta T$ 的连续周期函数。因此, 我们需要一个完整的周期来表征整个变换。换句话说, 可以取傅里叶反变换,由单个周期复原 $f(t)$ 。

如果副本间的间隔足够大 (见图 4.6),那么就能从 $\tilde{F}(\mu)$ 中提取一个等于 $F(\mu)$ 的周期。根据图 4.7(b), 如果 $1 / 2 \Delta T>\mu_{\max }$ 或

\[ \frac{1}{\Delta T}>2 \mu_{\max } \]

就可保证足够的间隔。该式表明, 如果以超过函数最高频率 2 倍的取样率来得到样本, 那么连续带限函数就能够完全由其样本集合复原。这个非常重要的结论称为取样定理 ${ }^1$ 。根据这一结论, 我们可以说如果一个连续带限函数用取样率大于函数最高频率 2 倍得到的样本来表示, 那么不会丢失信息。反之, 我们说以 $1 / \Delta T$ 的取样率对信号取样得到的最大频率是 $\mu_{\text {max }}=1 / 2 \Delta T$ 。完全等于最高频率 2 倍的取样率称为奈奎斯特率

图 4.8 说明了函数以高于奈奎斯特率的取样率取样时, 由 $\tilde{F}(\mu)$ 复原 $F(\mu)$ 的过程。图 4.8(b)中的函数由下式定义:

\[ H(\mu)=\left\{\begin{array}{cc} \Delta T, & -\mu_{\max } \leq \mu \leq \mu_{\max } \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right. \]

乘以图 4.8(a)中的周期序列时, 该函数就分隔了以原点为中心的周期。于是, 如图 4.8(c)所示, $H(\mu)$ 和 $\tilde{F}(\mu)$ 相乘得到 $F(\mu)$ :

\[ F(\mu)=H(\mu) \tilde{F}(\mu) \]

求出 $F(\mu)$ 后, 就可用傅里叶反变换复原 $f(t)$ :

\[ f(t)=\int^{\infty}_{-\infty} F(\mu) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} \mu \]

混叠¶

混叠一词的字面意思是 “假身份”。在信号处理领域, 混叠是指取样后不同信号变得彼此无法区分的取样现象, 或者一个信号 “伪装” 成另一个信号的现象。

从概念上讲, 掌握取样和混叠之间的关系并不困难。与取样有关的混叠的基础是, 我们只能用函数的样本值来描述数字化函数。这意味着两个 (或多个) 完全不同的连续函数有可能在各自样本的值上重合, 但我们却没有办法知道这些样本之间的函数特征。为便于说明, 图 4.9 示出了以相同取样率取样后的两个完全不同的正弦函数。

图 4.10(a)与图4.6(d)相同, 它显示了带限函数欠取样的傅里叶变换。

该图说明取样率小于奈奎斯特率的后果是, 傅里叶变换的周期现在是重叠的, 不管使用何种滤波器,都不可能分离出变换的一个周期。例如, 使用图 4.10(b)中的理想低通滤波器, 会得到如图 4.10(c)所示的一个变换, 但这个变换已被来自邻近周期的频率破坏。于是, 反变换将产生一个与原函数不同的 $f_a(t)$ 。也就是说, $f_a(t)$ 是一个混叠函数, 因为它包含了原函数中不存在的频率分量。按照前面的说法, $f_a(t)$ 伪装成了一个不同的函数。混叠函数甚至可能与原函数毫无相似之处。

遗憾的是, 除下面提到的某些特殊情况外, 混叠总是出现在取样后的信号中。这是因为即使原取样函数是带限的，在不得不限制该函数的持续时间时，也会引入无限个频率分量。为便于说明，假设我们想要将带限函数 $f(t)$ 的持续时间限制到一个有限的区间, 譬如区间 $[0, T]$ 。我们可以将 $f(t)$ 乘以如下函数来实现这一目的:

\[ h(t)=\left\{\begin{array}{lc} 1, & 0 \leq t \leq T \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right. \]

这个函数的基本形状与图 4.4(a)相同, 但其傅里叶变换 $H(\mu)$ 具有向两个方向无限扩展的频率分量, 如图 4.4(b) 所示。由卷积定理可知, 乘积 $h(t) f(t)$ 的变换是频率域中变换 $F(\mu)$ 和 $H(\mu)$ 的卷积。即使 $F(\mu)$是带限的, 并且它与 $H(\mu)$ 的卷积运算涉及将一个函数滑过另一个函数, 也会产生频率分量在两个方向上无限扩展的结果（见习题 4.12 )。由此得出结论, 有限持续时间函数不可能是带限的。反之, 带限函数一定会从 $-\infty$ 扩展到 $\infty{ }^{\Phi}$ 。

由取样后的数据重建 (复原) 函数¶

本节介绍如何在实践中减少样本间的内插, 由一组样本来重建函数。即使是显示图像的简单动作,也要通过显示介质由其样本重建图像。因此, 理解取样后的数据重建的基础非常重要。卷积是我们进行这一理解的核心, 这再次表明了卷积概念的重要性。

关于图 4.8 和式(4.34)的讨论, 给出了使用频率域方法由样本完美复原一个带限函数的过程。使用卷积定理, 我们可在空间域中得到相同的结果。由式 $(4.34)$ 即 $F(\mu)=H(\mu) \tilde{F}(\mu)$ 可知

\[ f(t)=\mathfrak{J}^{-1}\{F(\mu)\}=\mathfrak{J}^{-1}\{H(\mu) \tilde{F}(\mu)\}=h(t) \star \tilde{f}(t) \]

式中, $\tilde{f}(t)$ 照例表示取样后的函数, 且最后一步来自式(4.25), 即卷积定理。可以证明 (见习题 4.13),将式(4.27)给出的 $\tilde{f}(t)$ 代入式(4.37), 然后使用式(4.24), 可得到 $f(t)$ 的如下空间域表达式:

\[ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n \Delta T) \operatorname{sinc}[(t-n \Delta T) / \Delta T] \]

式中, sinc 函数由式(4.23)定义。这个结果并不令入意外, 因为理想（盒式）滤波器 $H(\mu)$ 的傅里叶反变换是一个 sinc 函数 (见例 4.1 )。式(4.38) 表明, 完美重建的函数 $f(t)$ 是用样本值加权的 sinc 函数的无限和。它有一个重要的性质, 即重建的函数恒等于整数倍增量 $\Delta T$ 处的样本值。也就是说, 对于任何 $t=k \Delta T, f(t)$ 等于第 $k$ 个样本 $f(k \Delta T)$, 其中 $k$ 是整数。这一结论是由式(4.38)得到的, 因为 $\operatorname{sinc}(0)=1$,且对于任何其他整数 $m, \operatorname{sinc}(m)=0$ 。样本点之间的 $f(t)$ 值是由 $\operatorname{sinc}$ 函数之和形成的内插值。

单变量的离散傅里叶变换¶

本节的主要目的之一是从基本原理开始推导离散傅里叶变换 (DFT)。到目前为止的内容都可视为这些基本原理的基础, 因此我们现在有了推导 DFT 的必要工具。

由取样后的函数的连续变换得到 DFT¶

如 4.3 节所述, 从 $-\infty$ 扩展到 $\infty$ 的带限函数取样的傅里叶变换, 也是从 $-\infty$ 扩展到 $\infty$ 的连续周期函数。实践中, 我们处理的是有限数量的样本, 本节的目的是推导这种有限样本集合的 DFT。

式(4.31)给出了对原函数的变换取样后的数据的变换 $\tilde{F}(\mu)$, 但未给出取样后的函数 $\tilde{f}(t)$ 的变换 $\tilde{F}(\mu)$ 的表达式。我们直接由式(4.19)给出的傅里叶变换的定义来求这一表达式:

\[ \tilde{F}(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t \]

用式(4.27)代替 $\tilde{f}(t)$, 得到

\[ \begin{aligned} \tilde{F}(\mu) & =\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t=\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-n \Delta T) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t \\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-n \Delta T) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu t} \mathrm{~d} t \\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty} f_n \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi \mu n \Delta T} \end{aligned} \]

最后一步是由式(4.28)和冲激的取样性质得到的。尽管 $f_n$ 是离散函数, 但由式(4.31)可知其傅里叶变换 $\tilde{F}(\mu)$ 是周期为 $1 / \Delta T$ 的无限周期连续函数。因此, 表征 $\tilde{F}(\mu)$ 所需的只是一个周期, 对该函数的一个周期进行取样是 DFT 的基础。

假设我们要在从 $\mu=0$ 到 $\mu=1 / \Delta T$ 的一个周期内等间隔地取 $\tilde{F}(\mu)$ 的 $M$ 个样本（见图 4.8 )。在如下频率处取样可实现这一目的:

\[ \mu=\frac{m}{M \Delta T}, \quad m=0,1,2, \cdots, M-1 \]

把 $\mu$ 的这一结果代入式(4.40), 并令 $F_m$ 表示得到的结果, 有

\[ F_m=\sum_{n=0}^{M-1} f_n \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi m n / M}, \quad m=0,1,2, \cdots, M-1 \]

这个表达式就是我们所求的离散傅里叶变换

已知一个由 $f(t)$ 的 $M$ 个样本组成的集合 $\left\{f_m\right\}$ 时,式(4.42)给出一个与输入样本集合的离散傅里叶变换相对应的 $M$ 个复值集合 $\left\{F_m\right\}$ 。反之, 已知 $\left\{F_m\right\}$ 时, 可由傅里叶反变换 (IDFT) 复原样本集 $\left\{f_m\right\}$ :

\[ f_n=\frac{1}{M} \sum_{m=0}^{M-1} F_m \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi m n / M}, \quad n=0,1,2, \cdots, M-1 \]

不难证明 (见习题 4.15 ), 将式(4.43)中的 $f_n$ 代入式(4.42)可得 $F_m \equiv F_m$ 。类似地, 把式(4.42)中的 $F_m$代入式(4.43)可得 $f_n \equiv f_n$ 。这表明式(4.42)和式(4.43)构成了一个离散傅里叶变换对。此外, 这些恒等式指出, 对于任何其值有限的样本集合, 正、傅里叶反变换都是存在的。注意, 这两个表达式既不显式地取决于取样间隔 $\Delta T$, 又不取决于式(4.41)中的频率间隔。因此, 离散傅里叶变换对适用于任何均匀取样的离散样本集合。

在前面的阐述中, 我们使用 $m$ 和 $n$ 来表示离散变量, 因为这是推导中的典型做法。然而, 尤其是在二维情况下, 使用 $x$ 和 $y$ 表示图像坐标变量并使用 $u$ 和 $v$ 表示频率变量更为直观, 这里的这些变量都理解为整数。于是, 式(4.42)和式(4.43)变为

\[ F(u)=\sum_{x=0}^{M-1} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi u x / M}, \quad u=0,1,2, \cdots, M-1 \]

和

\[ f(x)=\frac{1}{M} \sum_{u=0}^{M-1} F(u) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi u x / M}, \quad x=0,1,2, \cdots, M-1 \]

为简单起见, 我们使用函数符号代替了下标。比较式(4.42)到式(4.45), 会发现 $F(u) \equiv F_m$ 且 $f(x) \equiv f_n$ 。从现在开始,我们用式(4.44)和式(4.45)表示一维 DFT 对。类似于连续情况,我们常称式(4.44)为 $f(x)$ 的傅里叶正变换 (DFT), 而称式(4.45)为 $F(u)$ 的傅里叶反变换。我们照例用 $f(x) \Leftrightarrow F(u)$ 表示傅里叶变换对。有时, 我们在文献中会发现式(4.44)前面有 $1 / M$ 项, 这不会影响两个公式形成一个傅里叶变换对的证明 (见习题 4.15 )。 $f(x)$ 和 $F(u)$ 是傅里叶变换对的知识, 对于证明函数及其变换之间的关系很有用。例如, 习题 4.17 要求证明 $f\left(x-x_0\right) \Leftrightarrow F(u) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi x_0 / M}$ 是一个傅里叶变换对。也就是说, 要证明 $f\left(x-x_0\right)$ 的 DFT 是 $F(u) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi u x_0 / M}$ ，并证明 $F(u) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi u x_0 / M}$ 的反 DFT 是 $f\left(x-x_0\right)$ 。因为直接代入式(4.44)和式(4.45)可以证明它, 同时证明这两个公式构成傅里叶变换对 (见习题 4.15), 如果证明 “ $\Leftrightarrow$ ” 的一侧是另一侧的 DFT （IDFT）, 那么另一侧必定是刚刚证明的一侧的 IDFT（DFT）。事实表明，选择性地证明一侧或另一侧通常会简化证明。对一维和二维连续与离散傅里叶变换对来说, 同样如此。

可以证明 (见习题 4.16), 正离散变换和反离散变换都是无限周期的, 周期为 $M$, 即

\[ F(u)=F(u+k M) \]

和

\[ f(x)=f(x+k M) \]

式中, $k$ 是整数。式(4.24)中一维卷积的离散卷积是

\[ f(x) \star h(x)=\sum_{m=0}^{M-1} f(m) h(x-m), \quad x=0,1,2, \cdots, M-1 \]

因为在上述公式中，函数是周期的，所以它们的卷积也是周期的。式(4.48)给出了周期卷积的一个周期。因此, 这个公式通常称为循环卷积。这是 DFT 及其反变换的周期性直接导致的结论。

取样和频率间隔的关系¶

如果以 $\Delta T$ 个单位间隔对函数 $f(t)$ 取样后的 $f(x)$ 由 $M$ 个样本组成, 那么包含集合 $\{f(x)\}, x=0,1$, $2, \cdots, M-1$ 的记录的长度是

\[ T=M \Delta T \]

由式(4.41)得到的频率域中的对应间隔 $\Delta u$ 为

\[ \Delta u=\frac{1}{M \Delta T}=\frac{1}{T} \]

DFT 的 $M$ 个分量跨越的整个频率范围是

\[ R=M \Delta u=\frac{1}{\Delta T} \]

于是, 由式(4.50)和式(4.51)可以看出, DFT 的频率分辨率 $\Delta u$ 与记录的长度 $T$ ( $t$ 是时间时, 为持续时间）成反比; DFT 跨越的频率范围则取决于取样间隔 $\Delta T$ 。记住 $\Delta u$ 和 $\Delta T$ 的这些互逆关系。

例 4.4 计算 DFT 的原理。

图 4.12(a) 显示了连续函数 $f(t)$ 以 $\Delta T$ 个单位间隔取样后的 4 个样本。图 4.12(b) 显示了 $x$ 域中的样本。 $x$ 的值是 $0,1,2$ 和 3 , 这些数字指的是序列中从 0 开始计算的样本数。例如, $f(t)$ 的第 3 个样本为 $f(2)=f\left(t_0+2 \Delta T\right) 。$

由式(4.44)得 $F(u)$ 的第一个值即 $F(0)]$ 是

\[ F(0)=\sum_{x=0}^3 f(x)=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]=1+2+4+4=11 \]

$F(u)$ 的下一个值是

\[ F(1)=\sum_{x=0}^3 f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi(1) x / 4}=1 \mathrm{e}^0+2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \pi / 2}+4 \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \pi}+4 \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 3 \pi / 2}=-3+2 \mathrm{j} \]

类似地, 有 $F(2)=-(1+0 \mathrm{j})$ 和 $F(3)=-(3+2 \mathrm{j})$ 。观察到计算 $F(u)$ 的每个值时都用到了 $f(x)$ 的所有值。

若已知的是 $F(u)$, 并要求计算反变换, 则可用相同的方法进行处理, 但要使用傅里叶反变换。例如,

\[ f(0)=\frac{1}{4} \sum_{u=0}^3 F(u) \mathrm{e}^{j 2 \pi u(0)}=\frac{1}{4} \sum_{u=0}^3 F(u)=\frac{1}{4}[11-3+2 \mathrm{j}-1-3-2 \mathrm{j}]=\frac{1}{4}[4]=1 \]

这与图 4.12(b)一致。 $f(x)$ 的其他值可用类似的方式得到。

二变量函数的傅里叶变换¶

本节把本章前几节介绍的概念扩展到两个变量的情况。

二维冲激及其取样性质¶

两个连续变量 $t$ 和 $z$ 的冲激函数 $\delta(t, z)$ 照例定义为

\[ \delta(t, z)=\left\{\begin{array}{cc} 1, & t=z=0 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right. \]

和

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t, z) \mathrm{d} t \mathrm{~d} z=1 \]

如一维情况中那样, 二维冲激在积分下展现了取样性质:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t, z) \delta(t, z) \mathrm{d} t \mathrm{~d} z=f(0,0) \]

或者, 更一般地对 $\left(t_0, z_0\right)$ 处的冲激, 有

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t, z) \delta\left(t-t_0, z-z_0\right) \mathrm{d} t \mathrm{~d} z=f\left(t_0, z_0\right) \]

我们看到, 取样性质在冲激所在的位置照例产生函数的值。

对于离散变量 $x$ 和 $y$, 二维离散单位冲激定义为

\[ \delta(x, y)=\left\{\begin{array}{lc} 1, & x=y=0 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right. \]

其取样性质为

\[ \sum_{x=-\infty}^{\infty} \sum_{y=-\infty}^{\infty} f(x, y) \delta(x, y)=f(0,0) \]

式中, $f(x, y)$ 是离散变量 $x$ 和 $y$ 的函数。对于坐标 $\left(x_0, y_0\right)$处的一个冲激 (见图 4.13), 取样性质为

\[ \sum_{x=-\infty}^{\infty} \sum_{y=-\infty}^{\infty} f(x, y) \delta\left(x-x_0, y-y_0\right)=f\left(x_0, y_0\right) \]

处理有限维图像时, 上面两个公式中的限制由图像的维数代替。

二维连续傅里叶变换对¶

令 $f(t, z)$ 是两个连续变量 $t$ 和 $z$ 的连续函数, 则其二维连续傅里叶变换对为

\[ F(\mu, v)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t, z) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi(\mu t+v z)} \mathrm{d} t \mathrm{~d} z \]

和

\[ f(t, z)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(\mu, v) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi(\mu t+v z)} \mathrm{d} \mu \mathrm{d} v \]

式中, $\mu$ 和 $v$ 是频率变量。涉及图像时, $t$ 和 $z$ 解释为连续空间变量。类似于一维情况, 变量 $\mu$ 和 $v$ 的域定义了连续频率域。

例 4.5 求二维盒式函数的傅里叶变换。

图 4.14(a)显示了一个二维盒式函数, 它对应于例 4.1 中的一维盒式函数。按照例 4.1 中给出的类似步骤,可得

\[ F(\mu, v)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t, z) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi(\mu t+v z)} \mathrm{d} t \mathrm{~d} z=\int_{-T / 2}^{T / 2} \int_{-Z / 2}^{Z / 2} A \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi(\mu t+v z)} \mathrm{d} t \mathrm{~d} z=A T Z\left[\frac{\sin (\pi \mu T)}{(\pi \mu T)}\right]\left[\frac{\sin (\pi v Z)}{(\pi v Z)}\right] \]

图 4.14(b) 显示了关于原点的频谱的一部分。如一维情况中那样, 谱中零的位置与 $T$ 和 $Z$ 的值成反比。在这个例子中, $T$ 大于 $Z$, 所以谱沿 $\mu$ 轴更 “收缩”。

二维取样和二维取样定理¶

类似于一维取样, 二维取样可用一个取样函数 (即一个二维冲激串) 建模:

\[ s_{\Delta T \Delta Z}(t, z)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-m \Delta T, z-n \Delta Z) \]

式中, $\Delta T$ 和 $\Delta Z$ 是连续函数 $f(t, z)$ 沿 $t$ 轴和 $z$ 轴的样本间的间隔。式(4.61)描述了沿两个轴无限扩展的一组周期冲激 (见图 4.15 )。如图 4.5 中说明的一维情况那样, 用 $s_{\Delta T \Delta Z}(t, z)$ 乘以 $f(t, z)$ 可以得到取样后的函数。在区间 $\left[-\mu_{\text {max }}, \mu_{\text {max }}\right]$ 和 $\left[-v_{\text {max }}, v_{\text {max }}\right]$ 建立的频率域矩形之外, 函数 $f(t, z)$ 的傅里叶变换为零, 即

\[ F(\mu, v)=0, \quad|\mu| \geq \mu_{\max } \text { 且 }|v| \geq v_{\max } \]

时, 称该函数为带限函数。二维取样定理称, 若取样间隔满足

\[ \Delta T<\frac{1}{2 \mu_{\max }} \]

和

\[ \Delta \mathrm{Z}<\frac{1}{2 v_{\max }} \]

或以取样率表示时, 满足

\[ \frac{1}{\Delta T}>2 \mu_{\max } \]

和

\[ \frac{1}{\Delta Z}>2 v_{\max } \]

则连续带限函数 $f(t, z)$ 可由其一组样本无误地复原。另一种表述方法是：如果一个带限连续二维函数在 $\mu$ 和 $v$ 两个方向上可由大于该函数最高频率 2 倍的取样率得到的样本表示. 那么我们说无信息丢失。

图 4.16 显示了对应于图 4.6(b)和(d)中一维傅里叶变换的二维傅里叶变换。理想二维滤波器传递函数 (在频率域中) 具有图 4.14(a) 所示的形式。如图 4.8 中所示的那样, 为了从样本重建带限函数而隔离出一个周期的变换, 图 4.16(a)的虚线部分显示了这个滤波器函数的位置。由图 4.10 可知, 如果这个函数是欠取样的, 此时各个周期重叠, 并且如图 4.16(b)所示, 那么不可能分离出单个周期。在这样的条件下, 将出现混叠。